MATHEMATICA 



Algumas propriedades 

 das cónicas deduzidas da geração paralleloorammica 



POR 

 FRANCISCO DA PONTE HORTA 



1. Demonstrámos no additamento á Memoria Estudo synthetko so- 

 bre as secções cónicas que, se em um parallelogrammo OSO'S', que cha- 

 maremos paraUelogrammo gerador (fig. 1), tirarmos dentro das faxas 

 formadas pelos prolongamentos dos lados respectivamente parallelos; ou 

 dentro dos ângulos aSb, a'S'b' e seus verticalmente oppostos, transver- 

 saes parallelas a SS', v. g. gh, gh^, a curva gerada pelas intersecções 

 dos raios Oh, 0'g; Ohj, 0'g dirigidos de O e O' para as intersecções das 

 transversaes com os lados das faxas ou dos ângulos, é uma hyperbole 

 ou uma ellipse. Asseveramos agora que estas duas cónicas, geradas com 

 o mesmo parallelogrammo, são as supplementares de Poncelet. 



Para esclarecer este ponto, considere-se a transversal gg^ e condu- 

 zam-se os raios Oh, Oh,, 0'g, 0'g,, obter-se-hão os quatro pontos, M, M 

 da hyperbole e M„ Mj da ellipse: uns e outros situados em rectas paral- 

 lelas a SS'; visto serem 00' e SS' diâmetros do parallelogrammo 0S0'S'. 

 Digo agora que estas duas diagonaes 00', SS', são os diâmetros con- 

 jugados communs ás duas curvas, o que confirmará a asserção d'estas 

 constituírem as supplementares de Poncelet. 



É certo ser a corda 00' um diâmetro commum a ambas as curvas, 

 pois que as suas tangentes nos pontos communs O, O' são parallelas a 

 SS', e por conseguinte parallelas entre si. 



Também é evidente ser a diagonal SS' o diâmetro da ellipse que 

 é conjugado com 00'; e representar essa recta a direcção do diâmetro 

 da hyperbole que divide as cordas parallelas a 00' em duas partes 

 eguaes. Ora, o diâmetro da hyperbole n'esta direcção não encontra a 

 curva, é imaginário; mas, por convenção, attribue-se a este diâmetro 



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