PHYSICAS E NATURAES - 3 



mas é 



M^^^^OP,.PjO' (equação da ellipse), 

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2 7i2 Tjp 



Ora, os quatro pontos O, O', Pj, P estão em proporção harmónica, 

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PiO' PO' _ 

 pp '• P0~ 

 ou 



P,0' 0'P 



OP, ~ OP ' 



e substituindo na equação antecedente obter-se-ha 



m=Kop.o'p. 



a' 



% Observaremos de passagem que, se as transversaes ghj, des- 

 tinadas ao traçado da ellipse, forem tiradas dentro dos ângulos bSg, 

 bO'li, parallelaraente a 00', e depois se dirigirem raios de S e S' para 

 as respectivas intersecções, gera-se a mesma ellipse, pois que são seus 

 diâmetros conjugados as mesmas diagonaes do parallelogrammo gera- 

 dor. Mas se para o traçado da hyperbole, as transversaes gh forem ti- 

 radas parallelamente a 00', e os raios dirigidos para as respectivas in- 

 tersecções partirem de S e S', gera-se outra hyperbole distincta da pri- 

 meira, ambas concêntricas^ tendo as mesmas asymptotas, e em que os 

 diâmetros reaes d'uma são os imaginários da outra. Diremos pois: «O 

 logar geométrico dos extremos dos diâmetros imaginários d 'uma hyper- 

 bole é outra hyperbole de diâmetros contrários.» É evidente que as re- 

 ctas tiradas nos extremos d'um diâmetro imaginário d'uma hyperbole, 

 parallelamente ao seu conjugado, são tangentes á hyperbole conjugada 

 nos ditos pontos. 



3. A inspecção da figura 1 patentêa o seguinte modo de geração 

 duma supplementar pela outra, que é digno de notar-se : 



Traça-se por pontos a supplementar d'uma cónica dada relativa- 

 mente a qualquer diâmetro (que será sempre real na hyperbole) tirando 

 na dita cónica as cordas conjugadas com esse diâmetro, v. g. MiM/ ou 



