14 JORNAL DE SCIENCIAS MATIIEMATICAS 



e finalmente 



mh in'h 



mh' in'h'' 



Conseguintemente : 



O logar geométrico do conjugado harmónico do ponto m' em que 

 um raio dirigido d'um dos vértices O, O' d-um parallelogrammo OSO'S', 

 corta a diagonal opposía, relativamente ao segmento hh' comprehendido 

 pelos lados do angulo supplemeníar do opposto O', O, é uma ellipse de 

 que o dito parallelogrammo é gerador. 



O ponto nij sendo o ponto médio do segmento hh', ter-se-ha 



m'h . m'h'^=m'm . m'mi : 



Logo os pontos h, h' ; m, m' ; Wj formam uma involução de 5 pon- 

 tos em que o conjugado de m^ está no infinito. Os pontos m, m; são as, 

 intersecções da transversal com as duas supplementares de Poncelet re- 

 lativas ao parallelogrammo gerador OSO'S'. 



16. Se na hyperbole ou ellipse tomarmos para centros dos feixes ge- 

 radores os dois extremos d'um diâmetro, e um d'estes feixes for trans- 

 portado parallelamente a si mesmo para o centro do outro; estes dois 

 feixes estarão em involução. 



1.° Hyperbole. A homographia de dois feixes, tendo por centros 

 respectivos os pontos O, O' (íig. 6) é representada pela equação 



sen AM . sen A' 31' 



sen BM ~^- sen B'M' 



Mas nos triângulos 0'Mp, MhO' tem-se 



sen AOM __ MO' . sen BOM MO' . 

 sen A'0'M~ Mp ' sen B'0'M~ Mh ' 



e visto que Mh = Mp, teremos 



sen AM sen BM 



sen A'M sen B'M 



(/>). 



(Demos o signal — ao segundo membro porque os dois ângulos 

 BM e B'M são de sentidos contrários.) 



