28 JORNAL DE SCIENCIAS MATIIEMATICAS 



continuando o ponto A' a desviar-se de A, a ellipse « entrará para den- 

 tro da ellipse p. Emfim, quando o ponto A' cair em B sumir-se-ha a 

 ellipse a no ponto O, confundindo-se p com a proposta. 



Quando as duas eilipses « e p se confundem detcrmina-se a sua ra- 

 zão de semelhança com a proposta como se segue : 



Deduz-se da figura 12 



y:x::b:a, Cr:y::a:a-\-x, 

 log© 



ay^=bx, 



a-{-x 

 mas pela equação ahf^^a%'^ — ô2j;2=&%^ obtem-se 



a 



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Cr 



^-^2-1. 



Traçado um systema de diâmetros conjugados^, B acha-se pelo 

 processo do corollario terceiro o systema A!B' que divide em duas par- 

 tes eguaes as cordas tiradas entre os vértices do primeiro. Procedendo 

 egualmente com o systema N, B' oLtem-se o systema A, B, visto ter este 

 a mesma propriedade de dividir em duas partes eguaes a°s cordas tira- 

 das entre os vértices do systema A', B'. 



Se as eilipses « e p forem distinctas, ir-se-hão obtendo successiva- 

 mente novos systemas de diâmetros; podendo todavia recair-se em al- 

 gum systema já obtido, em cujo caso a serie será periódica. 



No circulo, o caso de periodicidade verifica-se quando são commen- 

 suraveis a circumferencia e o angulo ACA' (fig. 14). 



Estas proposições teem suas análogas na hyperbole, onde os oito 

 vértices de cada grupo de dois parallelogrammos pertencem a uma hy- 

 perbole concêntrica e homothetica com a proposta. D estes oito pontos 

 somente quatro existem na curva. Os outros quatro são vértices de diâ- 

 metros imaginários. 



27. Os dois vértices M, N de dois diâmetros conjugados (íig. 12) 

 dividem na mesma razão as rectas 0'g e Sg'. 



