36 JORNAL DE SCIENCIAS MATIIEMATICAS 



vas reciprocas, em logar de serem tangentes entre si, cortam-se mutua- 

 mente, e dão logar a intersecções mui curiosas. 



37. É sabido que os raios dirigidos d'um dos extremos d'um diâ- 

 metro d'uma cónica para os extremos das cordas conjugadas cora o dito 

 diâmetro, constituem dois feixes liomographicos em involução. 



Por quanto qualquer d'esses raios, quer se repute pertencente á 

 primeira divisão, quer á segunda, tem sempre o mesmo homologo, que 

 é o raio que se dirige para o outro extremo da mesma corda. A com- 

 paração dos senos dos ângulos formados por dois raios homólogos com 

 dois raios fixos conduz á mesma conclusão. 



Com effeito, deduz-se da figura 15, tomando o centro A, e consi- 

 derando os raios AM, AM' dirigidos para os extremos da corda MM' 

 conjugada com o diâmetro AE, 



sen MAE _ MP sen M'AE M'P . 

 sen MAF^AP ' sen M'AF~ AP ' 



d'onde 



sen 3IE sen 31'E 



sen MF sen M'F ' 



Conclue-se, pois, como coroUario a seguinte proposição : 



38. Se tomarmos dois pontos O e O' d'uma cónica (fig. 15) e d'el- 

 les dirigirmos raios para os extremos d'um systema de cordas paraile- 

 las, as intersecções dos raios correspondentes ás mesmas cordas geram 

 uma cónica. 



Com effeito, considerando os dois feixes A31. . ., AM. . ., que já 

 demonstrámos estarem em involução, e comparando-os com os dois 

 OM..., 0'M'. . ., teremos 



Im... = ÕM...; Im'... = Õ'31'...; 

 mas _ 



AM... = I'M'..., 



OM... = 0'M'... 



Se os pontos O, O' são os extremos do diâmetro conjugado com 

 aquellas cordas, a nova cónica é a supplementar de Poncelet. 



Se estão nos extremos do diâmetro parallelo ás mesmas cordas, 

 em logar d'uma cónica temos uma recta que é o diâmetro conjugado 

 d'aquelle. 



