PHYSICAS E NATURAES 



39 



sem que mude a curva gerada. Com effeito, tirando uma corda qualquer 

 quer pR' na hyperbole C, e um de seus diâmetros rp'; poderemos sub- 

 stituir a ellipse C por outra, cujo diâmetro seja pR', e que passe ao 

 mesmo tempo pelos pontos p' e r. Os novos centros geradores serão 

 p' Q r; as cordas parallelas serão as da nova ellipse conjugadas com 

 o diâmetro pR'. Logo : 



Se uma ellipse e uma hyperbole se interseptarem por um diâmetro 

 d'uma d^estas curvas, v. g. o diâmetro PR' da ellipse, e a tangente á 

 hyperbole n'uma das outras intersecções, v. g. em R, tiver a direcção 

 das cordas da ellipse conjugadas com o seu diâmetro PR'; então a corda 

 P'Pi será um diâmetro da hyperbole. Com eíTeito, a dita ellipse pôde ser 

 gerada por meio da hyperbole tomando para centros dos feixes gerado- 

 res os pontos P e R', e por cordas as parallelas á tangente da hyper- 

 bole no ponto R : e por conseguinte as intersecções P' e, R serão os ex- 

 tremos d'um diâmetro da hyperbole. 



Se a recta PR for ao mesmo tempo um diâmetro da hyperbole, a 

 el\ipse e a hyperbole serão tangentes entre si no. ponto P. 



A determinação da corda nn' da curva C que faz que os raios Rn' 

 e P'u' ou Rn e Pn' de C sejam paivnilelos, ensinou-se no Additamento. 

 Esta determinação importa o conhecimento das asymptotas da cónica C. 



43. Traçando agora os quadriláteros UIH'!' circumscripto â cónica 

 C, e PRP'R' inscripto a C e C: verificar-se-hão as seguintes proprie- 

 dades: 



4.° As tangentes á cónica C nos pontos Re P' concorrem no mes- 

 mo ponto com as tangentes á cónica C nos pontos R' e P. Porque sendo 

 (Est. synth.) p', p" os pontos de concurso dos lados oppostos do qua- 

 drilátero PRP'R' inscripto a ambas, deve o ponto de concurso M' dos 

 lados oppostos do quadrilátero circumscripto a qualquer d'ellas cair em 

 linha recta com p'p", e dividir este segmento harmonicamente com o 

 ponto 71/ onde concorrem os lados oppostos Hl, H'I', ou ///, h'i' do cir- 

 cumscripto a qualquer d'ellas. 



á.° Ao mesmo tempo fica provado ser a recta p'p" parallela a Hl, 

 e bem assim o ser M'ç'=M'?"; visto que as rectas Hí, Hl ou hi, h'i' 

 concorrem no infinito. 



3.° Também sabemos que as seis diagonaes dos três quadriláteros, 

 inscripto commum, e os circumscriptos a uma e outra cónica se inter- 

 septam no mesmo ponto p. 



4.° Os quatro vértices í, i', h, W do quadrilátero circumscripto tá 

 cónica C existem nas diagonaes //', HH. 



Com effeito, para obter as tangentes á cónica O nos pontos R e R', 



