234 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



vem 



I r — a. , . r — g 



n^=m-\ — -r— e n'='m-\ — j^; 



por conseguinte, para que haja números inteiros que satisfaçam as egual- 

 dades {b), é preciso que seja 



r=a. e r=g. 



Não se reconhecendo uma ou ambas estas condições, deve-se pro- 

 curar ò menor numero inteiro que satisfaça as desegualdades 



•^ I í — a 



r-e) "i^) 



Do que fica dito conclue-se que os números n e n' ou são eguaes, 

 ou differem de uma unidade, e que o numero total das imagens, n -\- n', 

 é egual a 2m, 2m + l ou 2m-f 2. 



O caso único em que se deve recorrer conjunctamente ás duas egual- 



des (6) é aquelle em que for r=oc e r=g, isto é, cc=^=-^=r; 

 então é 



i80'=mA-\-Y ^^ 360^=(2m + l)i, 



o que exige que o angulo dos espelhos seja sub-multiplo impar da cir- 

 cumferencia, sendo o objecto equidistante dos espelhos. 



Se for r=0, isto é, 180"= wi, as desegualdades (c) convertem-se 

 em 



w>>m — ~ e n'^m — ^ 



por tanto n=n'=m. 



N'este caso, porém, o numero total das imagens não é 2m, como 

 se poderia suppor, mas sim 2w — 1; porque as ultimas imagens das 

 duas series sobrepõem-se, e não constituem mais que uma. De feito, os 

 ângulos d'estas imagens com os espelhos são 



(m — \)A-{-a e (»i— l)A-f-ê 



