DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 9 
partielles d'un ordre quelconque x peut toujours être ramenée à des in- 
tégrations d'équations aux dérivées partielles de la forme 
dC dC dc’ dC’ 
DD, D EU ir: 
dx dy dx dy 
dans lesquelles P, Q,R, P'.... sont donnés en fonction de f, f!, fl! .... 
et de leurs dérivées, et ne contiennent par conséquent que des x et des y. 
On démontre facilement que, dans ce cas, les intégrales sont nécessaire- 
ment de la forme 
CRE qu CI —FO Et eIut 
F, u, F', u!.... étant des fonctions de forme déterminée de x, yet», gares 
des fonctions arbitraires de u, u'.... L'intégrale de l'équation linéaire 
$ q 
proposée de l'ordre n est donc de la forme 
2 —Ff4lf + Ff + .... + fou + fou + fre ut +... 
9, 9, gl! .... étant des fonctions arbitraires des fonctions déterminées 
u, u!, w! ... Sile nombre d’intégrales particulières connues /, f',f'!.... 
était supérieur à celui indiqué plus haut, les équations de condition con- 
dc dc dc 
RS 
les dérivées des coefficients de f, f!.... qui excèdent le nombre voulu, 
seraient visiblement satisfaites en rendant nulles 
c’est-à-dire en rendant les coefficients constants; l'intégrale précédente 
se compléterait donc en y ajoutant une suite de termes telle que 
cl) fe) ee c'"+1) FAR) sn çlr+2) FOIRE) Ni 
_ G®), C("+1).... étant des coefficients constants. 
Le théorème qu’on vient de démontrer est particulièrement utile, lors- 
que l'équation aux dérivées partielles qu’on se propose d'intégrer, a tous 
ses coefficients a, a!, a!!, b, b' .... constants, et que le terme final k est 
seul fonction de +, y. On sait que, dans ce cas, les intégrales particu- 
lières f, f!, f!!.... sont de la forme 
Towe XXVII. 2 
f ARTE yÿm 3 fr uit gente + yYn Ai = mx + y! 
