i ETUDE APPROFONDIE 



le troisième et le quatrième donnent un aperçu des ressources offertes , 

 d'une part et en algèbre, par l'équation (1), d'autre part et en mathémati- 

 ques transcendantes, par l'exacte interprétation de l'équation (2). 



Une analyse succincte de chacun de ces chapitres permettra au lecteur 

 l'en apprécier l'importance relative , et de porter directement son atten- 

 tion sur ceux des points traités qui lui paraîtraient sujets à controverse 

 ou plus intéressants. 



L'objet du chapitre I""^ est d'établir à jniori l'équation fondamentale 



f{x + /() - /-(x) 

 hni y^ = f (X). 



La fonction tj = f[x) étant supposée continue, il est visible que si l'on 

 fait décroître indéliniment l'accroissement h, le rapport /''•^+''j~^W _ ^ 



' ' h ^x 



se trouve assujetti à subir l'une ou l'autre des cinq conditions suivantes : 



1" Demeurer constant; 



2" Converger vers une limite constante ou nulle ; 



3" Croître sans limites ; 



4" Osciller sans fin entre plusieurs limites distinctes; 



6" Converger vers une limite qui dépend de la valeur attribuée à la 

 variable x et change avec cette valeur. 



On démontre aisément, qu'abstraction faite du cas particulier où la 

 fonction y est linéaire, et où la condition (1) se réalise d'une manière per- 

 manente, chacune des trois premières conditions n'est jamais possible que 

 pour certaines valeurs de la variable conservant entre elles des écarts 

 déterminés. J'ai cru devoir reproduire ces démonstrations, en me bornant 

 à en changer la forme. Quant à la condition (i) , je ne pense pas qu'on 

 s'en soit occupé jusqu'ici , ni surtout qu'on soit parvenu à démontrer 

 pour elle, comme pour les trois premières, qu'elle est généralement impos- 

 sible. J'ai entrepris cette tâche délicate, et je crois être parvenu à l'ac- 

 complir, sinon aussi simplement que je l'aurais voulu , du moins avec 

 toute la rigueur désirable, et sans recourir à d'autres notions que celles 

 dont on a besoin en algèbre pour la résolution des équations du 1" degré. 



Parvenu à ce point, j'ai pu conclure que la condition (5) subsistait 



