SUR DEUX ÉQUATIONS FOINDAMENTALES. S 



seule d'une manière générale et permanente. J'ai, en outre, établi que la 

 limite du rapport "^ ^ ^^ ~ ^'''' est elle-même continue, soit pour toute 

 l'étendue de l'intervalle où la fonction ij varie avec continuité, soit pour 

 nue suite de subdivisions, comprenant dans leur ensemble toute cette 

 étendue. 



De là résulte l'équation fondamentale 



f{x + h) —f(x) 



h — == /'<'''• 



démontrée à priori, sans autre secours que celui des premières notions 

 de l'algèbre , pouvant être prise pour base de tous les développements 

 ultérieurs, apportant avec elle une ressource précieuse jusqu'à présent 

 interdite, offrant enfin une extrême facilité qui permet de pousser plus 

 loin l'enseignement élémentaire, tout en lui imprimant une marche beau- 

 coup plus rapide. 



On objectera, sans doute, que des élèves, à peine initiés aux spécula- 

 tions algébriques, éprouveraient une difficulté considérable à bien saisir 

 l'ensemble des propositions développées dans le chapitre I"de cette étude. 

 En ce cas, l'on peut y suppléer par certaines inductions géométriques, 

 ou, plus simplement encore, se borner à poser en principe le théorème 

 dont on a besoin, sauf à réserver pour une époque ultérieure la démons- 

 tration jugée d'abord trop difficile. 



L'objet du chapitre II est de définir la différentielle et d'interpréter 

 l'équation. 



(}y = f'[x). SX. 

 Partant de l'équation fondamentale 



et observant l'invariabilité absolue du mode suivant lequel s'accomplit la 

 génération simultanée des accroissements ^x, Ay , lorsque la fonction y 

 est linéaire, on est conduit à l'induction suivante : 



