6 ETUDE APPROFOINDIE 



Dans toute fonction continue el non linéaii'c 



y = M- 



La génératioyi simultanée des accroissements A y et Ax commence en général 

 suivant une certaine raison de proportionnalité. Constamment vaiiable avec x, 

 cette raison est exprimée par la valeur partictdière que la fonction dérivée f'(x) 

 affecte à l'origine même des accroissements. 



Pour vériiier l'exactitude de cette induction , et établir, avec une rigueur 

 complète , le principe qui en dérive , je procède par voie de synthèse. Je 

 prends une fonction quelconque continue y (a;), et j'imagine que, pour 

 chaque valeur affectée par la variable, elle exprime la raison correspon- 

 dante suivant laquelle commence la génération simultanée des accroisse- 

 ments Al/, Ax , y étant une fonction inconnue qu'il s'agit de déterminer 

 d'après cette condition. 



Je démontre alors, 



1° Que si l'on désigne par le symbole M^f^) la limite vers laquelle 



X 



converge la moyenne arithmétique 



f{x) -I- f l X -{ j + f (x-i-2 — '■] -4- elc. H- f [a! + (n — 1) — | 



n 



à mesure que le nombre n devient de plus en plus grand, l'on a en 

 général 



Ay = àx. 31 ^(xj; 



X 



2° Que, si l'on identifie avec la dérivée f [a;) la fonction y {x) dont on 

 dispose arbitrairement, l'accroissement Ay devient lui-même identique à 

 celui de la fonction f{x). 



De là résulte la déduction suivante : 



Les accroissements A{ax-{-b) = aAx et Af(x) = Ax ^ f {x) étant rapportés 

 tous deux à une même origine, et tous deux répondant ensemble à une même va- 

 riation continue de ta quantité Ax , c'est suivant un même mode de composition 



