SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 7 



successive que saccomplit leur génération simidlanée. La seule distinction consiste 

 en ce que, pour l'un, l'élément, représenté numériquement par a, intervient constam- 

 ment sans changer de grandeur, tandis que, pour Cautre, ce même élément passe par 

 une suite non interrompue de déterminations transitoires, toutes variables avec x dans 

 l'intervalle ^x, et exprimées par la valeur correspondante de la dérivée f'{x). 



Le sens exprimé par l'énoncé qui précède pouvant offrir quelque ob- 

 scurité, je le rends en quelque sorte matériellement palpable par une 

 construction géométrique tout élémentaire. 



Cela posé, je démontre : 



1» Que la différentielle n'est qu'une différence ordinaire prise dans une 

 certaine hypothèse; 



2° Que cette hypothèse consiste à considérer comme constante, pour 

 toute l'étendue de l'intervalle Ax, la raison de proportionnalité suivant 

 laquelle la génération simultanée des accroissements commence à l'origine 

 de cet intervalle. 



Je termine par l'exposé de deux théorèmes aussi simples que féconds 

 en ressources, et par des considérations générales très-propres à élucider 

 complètement la question importante traitée dans ce chapitre. 



Le chapitre 111 a pour objet l'indication des ressources que peut offrir, 

 en analyse algébrique , l'équation fondamentale , 



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lorsqu'elle est démontrée, ou admise à priori, et qu'on la prend pour base 

 des développements ultérieurs. 



J'établis d'abord la règle unique et générale d'où dépendent , comme 

 conséquences immédiates, toutes les règles particulières de la déri- 

 vation. 



J'en déduis la dérivée de la fonction x"', l'exposant m étant quelconque. 



Je démontre ensuite le théorème relatif à la valeur moyenne de la 

 fonction dérivée, et j'établis les relations générales qui existent entre les 

 valeurs moyennes des dérivées successives d'une même fonction. 



