8 ETUDE APPROFONDIE 



De là résulte immédialenienl, et sans qu'on ait besoin d'aucune aulre 

 notion pour y parvenir, l'identité générale 



f{z) = f{x) + " /'(x) + '—''-'■ rw-*- «le, 



1.2... (n—l) 1.2 ...(w—l) 



comprenant, comme cas particuliers, le binôme de Newton, la formule 

 de Taylor et celle de Maclaurin. 



Passant aux différences ordinaires des ordres supérieurs, j'ajoute quel- 

 ques nouveaux détails à la théorie générale des moyennes aritliméliques 

 transcendantes, et je déflnis les moyennes multiples, ce qui me conduit à 

 l'équation très-simple 



" 1+51 



A"y = AI", ^r l.r). 



Je démontre d'ailleurs qu'on a généralement 



A"!, = i;} AX-. fix) + 1"+'| AX-+' r-^< [X) + {-;"} Ax"+^ r-^^ w + etc. 



le terme sommatoire, qui complète le second membre et le rend iden- 

 tique au premier, pouvant s'exprimer indifféremment, soit à l'aide dos 

 moyennes multiples à indices constants, soit à l'aide des moyennes sim- 

 ples à indices variables. 



La simplicité, la facilité de toutes ces déductions dépend évidemment 

 de deux causes. La première est la base fournie par l'équation fonda- 

 mentale 



,. f(x + h )-m 



hni = f (x); 



h 



la seconde résulte de l'emploi du symbole adopté pour l'expression des 

 moyennes arithmétiques transcendantes. 



Il existe entre les moyennes simples ou multiples et les intégrales J 



correspondantes une analogie manifeste. En la remarquant , l'on se deman- ' 



