10 ÉTUDE APPROFONDIE 



courbure, en dynamique, celle de la vitesse acquise et de l'action motrice 

 dans le mouvement d'un point matériel. 



S'agil-il, au contraire, de descendre des causes à leurs efl'ets, dans 

 l'étude de certains phénomènes, compliqués par la variation incessante 

 des grandeurs qui y interviennent ? L'équation différentielle résout la 

 question proposée en exprimant les effets qui ont lieu dans l'hypothèse 

 très-simple oij les grandeurs dont il s'agit, cessant de varier, persistent 

 dans une seule et même détermination devenue permanente. Le volume 

 engendré par une aire qui se déplace en changeant de grandeur, l'espace 

 décrit par un mobile qui se transporte en changeant de vitesse, sont les 

 exemples choisis pour mettre en évidence les avantages offerts dans tous 

 les cas de cette espèce. 



Indépendamment des ressources que je viens d'indiquer, et qui résul- 

 tent de l'application littérale de deux théorèmes exposés dans le chapitre 

 second, l'on peut, dans un grand nombre de cas, procéder plus simple- 

 ment encore , en se fondant sur certaines déductions de ces théorèmes ou 

 des principes sur lesquels ils reposent. Pour donner une idée de l'extrême 

 facilité que présente ainsi l'emploi des différentielles, considérées direc- 

 tement dans la génération qu'elles expriment, et oîi elles ne sont plus en 

 réalité que des différences ordinaires, je donne la rectiflcation de l'arc 

 curviligne, les plans normaux et tangents, enfin la courbure des surfaces. 



Je termine par les deux définitions que comporlenl les différentielles 

 des ordres supérieurs, l'une résultant des différentiations successives, 

 l'autre étant immédiate et tout à fait directe. Ici plus de difficultés. Tout 

 se réduit à une simple extension de la définition donnée pour les diffé- 

 rentielles du 1'='' ordre. 



La considération des différentielles des ordres supérieurs conduit à la 

 formule suivante : 



AU ^ du ■+■ ■+■ — - -*- etc. 



■^ ^ 1.2 1.2 3 



ou plus généralement 



„ (»( ,,, ("-t-'l i"-l-' jn+21 ,n-4-! , 



