16 ETUDE APPROFONDIE 



2. Lorsque nous disons de la fonction y qu'elle affecte une valeur 

 réelle et déterminée, nous entendons exprimer que la valeur dont il s'agit 

 est vjfccùvemcnl alteinle par la fonction, et, qu'en conséquence, elle ne se 

 réduit pas à une simple limile, vers laquelle la fonction serait conver- 

 gente. Pour bien faire comprendre le sens de cette remarque, sur laquelle 

 nous devons insister, nous prendions pour exemple la fonction parti- 

 culière 



(I) î/ = X sin — . 



X 



Cette fonction est continue pour tout intervalle où la variable x de- 

 meure constamment, soit positive, soit négative. Néanmoins, elle doit 

 être considérée connne présentant une solution de continuité correspon- 

 dante h X = 0. 



Lorsqu'on perd de vue ',' impossibilité radicale accusée par le symbole l , 

 et qu'on traite l'équation (1), sans tenir compte de cette impossibilité, l'on 

 est conduit à confondre, parmi les valeurs effeclives de la fonction x sin , 

 la limile zéro vers laquelle elle converge , à mesure que la variable x 

 décroît indéfiniment. On peut alors ne point apercevoir la solution de 

 continuité mentionnée ci-dessus, ou bien estimer qu'il n'y a pas lieu d'v 

 avoir égard. Une simple remarque suffira pour montrer que la question 

 n'est point indifférente, et qu'on doit en réalité mettre le plus grand soin 

 à distinguer les valeurs effeetives de ces autres valeurs, qu'on peut désigner 

 sous le nom de valeurs limites, en rappelant ainsi qu'elles restent en 

 dehors de la suite formée par les premières. 



Supposons, en effet, que, dans l'exemple choisi, la valeur y=o, qui, 

 par hypothèse, répond a. x = o, puisse être considérée, non pas seule- 

 ment comme une valeur limile, mais bien comme une valeur efFeclive. 11 

 s'en suivra que la courbe représentée par l'équation (1) atteint l'origine 

 des coordonnées, et que par suite elle comporte nécessairement un tracé 

 continu ayant cette même origine pour point de départ. Or, il est évident 

 qu'un pareil tracé est absolument impossible, puisque rien ne détermine 

 si c'est on s'élevant au-dessus de l'axe des x, ou, au contraire, en s'abais- 

 sant au-dessous , qu'il devrait être commencé. On voit donc que la valeur 



