SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMEISTALES. n 



y = qui répond à a; = o n'est en réalité qu'une valeur -limite et qu'il 

 serait absurde de lui attribuer le caractère d'une valeur effective. 



3. La distinction que nous venons d'établir ne devra point être perdue 

 de vue dans tout ce qui suivra. Elle est ici doublement importante; 

 d'abord en ce qui concerne l'exacte définition de la continuité, et eu égard 

 aux réserves à faire par rapport aux valeurs -limites qui peuvent se pré- 

 senter accidentellement; ensuite, en ce qui concerne l'objet principal de 

 cette étude, savoir : 



1° La démonstration rigoureuse et complète de l'équation fondamentale 



,. f(x-\-h) — f(x) 



'""^ — h — =rw; 



2° La détermination précise du sens à attribuer à cette équation , et 

 plus particulièrement encore à celle qui s'en déduit sous la forme 



dy = f'(x) dx, 



celle-ci devenant la base du calcul différentiel et la clef de toutes les appli- 

 cations de l'analyse transcendante. 



4. Aux indications déjà données , concernant la variation de la fonc- 

 tion y, dans l'intervalle compris entre Xg et x^,, nous ajouterons la sui- 

 vante : 



Constamment variable avec x, et partant de la valeur effective qui 

 répond à x^,, la fonction y ne peut changer d'abord que par augmentation 

 ou par diminution. Si c'est en croissant qu'elle varie à l'origine, il faut 

 qu'elle continue de croître toujours, ou si elle cesse de croître pour de- 

 venir décroissante, ce n'est qu'à partir d'une certaine valeur, plus grande 

 à la fois que celles qui la précèdent et la suivent immédiatement. Cette 

 valeur, qu'on peut désigner sous le nom de valeur maxima, est nécessaire- 

 ment distincte de la valeur initiale tj^. Elle comprend donc entre elle et 

 celle-ci une infinité de valeurs intermédiaires , que la fonction y a dû suc- 

 cessivement franchir, et qui, par conséquent, répondent à un certain 

 intervalle a; ^-ajfl. Dans toute l'étendue de cet intervalle, la fonction y est 

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