18 ÉTUDE APPROFONDIE 



demeurée continûment croissante; au delà elle décroît, soit constam- 

 ment, soit jusqu'à une certaine valeur, moindre que celles qui la précè- 

 dent et la suivent immédiatement, et qu'on peut désigner sous le nom de 

 valeur mitiima. Ainsi succède au premier intervalle x^ — x„ , un second intei- 

 valle Xf — x^, où la fonction reste toujours décroissante. A ce second inter- 

 valle peut succéder un troisième, où la fonction redevienne croissante, 

 comme elle l'était dans le premier; puis un quatrième, où elle décroisse 

 comme elle l'a fait dans le second, et ainsi de suite jusqu'à épuisement 

 de l'étendue totale à considérer, x^,— Xu. 



Il est visible que les mêmes déductions, prises en sens inverse, s'appli- 

 quent au cas où la fonction décroît d'abord, au lieu de commencer par 

 croître, comme nous l'avons supposé tout à l'heure. On doit donc admet- 

 tre que si la fonction y n'est pas constamment croissante ou constamment 

 décroissante dans l'intervalle a;^ — x^, néanmoins cet intervalle se subdivise 

 nécessairement en un nombre limité d'intervalles plus petits, et pour cha- 

 cun desquels l'une ou l'autre de ces deux conditions subsiste alternative- 

 ment. Cela posé, il suffit évidemment que l'intervalle primitif x^ — a;^ soit 

 convenablement restreint, pour que, en même temps, l'on soit autorisé à 

 admettre que, dans toute l'étendue de cet intervalle, la fonction y ne fait 

 que croître ou que décroître d'une manière continue. 



D'après ce qui précède, il nous est permis d'ajouter, qu'aux conditions 

 qu'elle est supposée remplir, la fonction y joint celle d'être toujours crois- 

 sante, ou toujours décroissante dans l'intervalle considéré. Que la fonc- 

 tion croisse ou décroisse, pourvu qu'elle ne cesse pas de croître toujours 

 ou de toujours décroître, les déductions restent identiquement les mêmes. 

 Il suffit donc de traiter l'un ou l'autre de ces deux cas; nous choisirons 

 le premier, c'est-à-dire celui où la fonction demeure constamment crois- 

 sante dans l'intervalle où s'accomplit la variation que l'on considère. 



5. En résumé, la fonction 



(2) !/ = /-(x) . 



nous est donnée comme étant continue et constamment croissante dans 



