20 ETUDE APPROFONDIE 



Recherche des diverses condilions que peut subir le rapport de l'accroissement 

 de la fonction à l'accroissement de la variable. 



6. En général, le rapport — dépend à la fois de x et de /(. On conçoit 

 néanmoins qu'il puisse être constant, ou du moins ne dépendre que de 

 l'une ou de l'autre de ces deux quantités. 



Examinons d'abord les cas les plus simples, et, en premier lieu, celui 

 où le rapport ^ est supposé constant, indépendamment de toute valeur 

 attribuée soit à h, soit à x. 



PREMIER CAS. 

 Le rapport -^ est supposé indépendant de x et de h. 



7. Dans ce cas particulier l'on a évidemment, 



f(x +■ h) — /•(x) = C.ft, 

 C étant une constante absolue. De là résulte, 



(6) f{x -^ h) = f{x) -4- C./t. 



et comme le premier membre de l'équation (6) ne change point lorsqu'on 

 y remplace en même temps x par /* et h par x, il s'ensuit que la même con- 

 dition doit nécessairement subsister pour le second. On a donc aussi ; 



f{x) -i- C./i = f(h) -4- Cx. 

 ou , ce qui revient au même : 



u) nx) — Cx = /•(/») — cÂ. 



La simple inspection de l'équation (7) montre clairement que la difTé- 



