SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 21 



rence f{li) — Cli, égale à f{x) — Cx, doit demeurer conslanle indépeudam- 

 menl de toute valeur attribuée, soit à /i, soit à x. On a donc : 



(8) f(h) — Ch = C, 



C étant une constante absolue. De là résulte en substituant, 



(9) f{x) = Ca: -f- C. 



Les équations (8) et (9) conduisent toutes deux à un seul et même théo- 

 rème, susceptible d'être énoncé, comme il suit : 



Lorsque, pour un intervalle quelconque, le rapport ^ reste égal à C, indépen- 

 damment de toute valeur attribuée, soit à x, soit à h, la fonction y se résout pour 

 ce même intervalle en une fonction linéaire de la forme 



2/ = Ca; -t- C. 



11 est d'ailleurs visible que la réciproque subsiste également , c'est-à- 

 dire que pour toute fonction linéaire de cette forme, l'on a nécessairement 



— = C = const. 



A.r 



8. Le même mode de démonstration conduit à cet autre théorème. 



Lorsque les accroissements de deux fondions d'une même variable œ, sont égaux 

 pour toute l'étendue d'un même intervalle quelconque Ax, la différence des fonctions 

 est constante ou nulle dans toute cette étendue. 



Soient, en effet, f(x) et F(x) les deux fonctions dont il s'agit. On a par 

 hypothèse 



f{x -t- A) — f{x) = V[x -\- h) — Y{x). 



De là résulte d'abord, 



f(x -t- h) — F{x + h) = f(x) — F{x), 



puis comme ci-dessus : 



f(x) — F(a;) = /■(/,) _ F(/») = const = C. C. Q. F. D. 



