SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. 23 



prouvant que C, ne diffère pas de C, il en résulte : 1° que C, ne dépend pas 

 de h; 2" que C ne dépend pas de x. 



Concluons, que, pour tout intervalle oii le rapport ^- ne dépend pas 

 de II, ce rapport est en même temps indépendant de x. 



TROISIÈME CAS. 

 Le rapport ^ est supposé indépendant de x. 



10. Supposons en dernier lieu que le rapport ^ soit indépendant de 

 x; nous aurons, 



(IS) f{x + h) — f(x) = C./i. 



C étant une quantité qui ne dépend pas de x mais qui peut dépendre de h. 

 Soit ''i = m' *" ^'^°'' "" nombre entier quelconque, et C, ce que de- 

 vient C lorsque, dans l'équation (15), on remplace h par /t,. On a d'abord : 



('6) fi^ + h,) - f(x] = C./,., 



puis substituant à x les valeurs successives x -\- h^,x-{■ 2h„ x + 3/«, etc. 

 X -f- (m— 1)A,. 



I f(x + ih^)- f{x + h,) = C,h. 

 \ f{x -,- 5h,)—f{x -4- 2A.) = C.A, 



(H) 



) f(x + [m— 1] A,) — fil + [m— 2] h,) = C,h, 

 \f{x+mh,) —f{x-t-[m — i]h,)=C,h,. 



Les équations (16) et (17) ajoutées membre à membre donnent : 



(18) /-(x + mA.) — /-(x) = mC,/i., 



ou remplaçant m/j, , par h. 

 ('9) f{x + h) — f{x) = C, A. 



