24 ÉTUDE APPROFONDIE 



La comparaison des équations (15) et (19) conduit à l'égaillé. 



C. = C. 



D'un autre côté, si l'on désigne par /^' une valeur quelconque admissible 

 pour II et telle que l'on ait li'=nhi, il est évident qu'en opérant sur n 

 comme on l'a fait sur ?n , on trouverait au lieu de l'équation (18), 



/(x -h Ji/i,.) — f{x) = nC,h,, 



c'est-à-dire 



f(s -^h') - f{x) = c. fc', 



ou remplaçant C, par C, qui lui est égal, 



(20) f{v + h') — f[x) = CA'. 



Cela posé , imaginons que dans l'équation (15) on remplace h par h' et dési- 

 gnons par C, ce que devient C par suite de cette substitution; nous aurons, 



(21) f(x + h') - f(x) = C7.'. 



Les équations (20) et (21) donnent 



C = C, 

 et par conséquent, eu égard à l'équation (15), 



^ ' ■ /. h' 



L'équation (22) montre que, pour toute valeur k' commensurable avec h, la 

 quantité C demeure constante. Eu égard à la continuité de la fonction y, 

 cette circonstance suffit pour que cette condition s'étende d'elle-même aux 

 valeurs de h' qui ne seraient point commensurables avec k. 



On voit donc que C est une constante absolue et qu'en conséquence le rajrport 

 -^ ne peut être indépendant de la variable x sans l'être en même temps de 

 l'accroissement h. 



