SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 2S 



11. D'après ce qui précède nous sommes en droit de poser la conclu- 

 sion suivante : 



Abstraction faite du cas particulier et unique présenté par la fonction linéaire 



y = Cx -i- c. 



Le rapport ^ est une fonction qui dépend, à la fois et toujours, des deux quan- 

 tités X et h. 



Ce premier point établi, laissons de côté le cas simple des fonctions 

 linéaires , et cherchons à reconnaître et à déterminer, d'une manière pré- 

 cise, ce qui arrive en général, lorsque, pour une valeur quelconque attri- 

 buée à X, l'accroissement h converge indéfiniment vers zéro. 



Ëtude des diverses conditions que peut offrir la variation du rapport -^ , la 

 fonction y n'étant pas linéaire , et l'accroissement li = àx convergeant vers 

 zéro. 



12. Nous commencerons cette étude par deux observations impor- 

 tantes. La première consiste en ce que, pour chaque valeur attribuée 

 d'une part à la variable x, d'autre part à l'accroissement h, le rapport 



^ — h~ — affecte toujours une valeur unique, réelle et déterminée. La 

 seconde, en ce que ce même rapport est essentiellement continu , relati- 

 vement à chacune des quantités x et h, c'est-à-dire que, variant avec ces 

 quantités, il ne peut jamais subir aucun changement brusque, tant que 

 l'une ou l'autre ne fait que croître ou décroître avec continuité. 



Nous nous bornerons à démontrer la dernière de ces propositions, 

 l'énoncé de la première suffisant pour en constater l'exactitude évidente. 



Soit i une quantité moindre que li, et d'ailleurs aussi petite qu'on 

 voudra; si, d'abord, on remplace x par x + i dans le rapport ^, on 

 aura pour expression du changement subi par ce rapport 



f(T + i-^h)- f(x-^i) _ f(x + k)-f[x) _ f{x+i + h)- f(x+h) — [f{,oc+ i)—f(l)] 

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Tome XXIX. i 



