26 ÉTUDE APPROFONDIE 



On trouverait de même, eu remplaçant li par /( + i, que le changement 

 correspondant a pour expression 



f{x + h + i)—f{x) __ f(x-t-h)-f{x) ^ f(x+h-^i) — f(x + h) i_ f{x + h)-f(x) 



'^'' h -f- i" h h-y-i h-t-i h 



Oi- il est manifeste que chacune des deux différences (1) et (2) converge 

 indéfiniment vers zéro en même temps que i; il est donc inadmissible que 

 pour aucune valeur attribuée, soit à x, soit à h, le rapport ■£ puisse 

 jamais subir aucun changement brusque, alors que l'une ou l'autre des 

 quantités ic et li ne fait que croître ou décroître d'une manière continue. 



13. Lorsque, pour une valeur quelconque attribuée à x, l'accroisse- 

 ment Il converge vers zéro, il est visible que le rapport """*" ^ — — se 

 trouve nécessairement assujetti à remplir l'une ou l'autre des quatre con- 

 ditions suivantes : 



1° Croître sans limites; 



2° Converger vers une limite constante ; 



3° Osciller sans fin entre plusieurs limites; 



i" Converger vers une limite qui dépend de la valeur attribuée à x et 

 change avec cette valeur. 



On conçoit que, tant qu'il s'agit exclusivement d'une ou de plusieurs 

 valeurs particulières attribuées à la variable, l'une ou l'autre de ces quatre 

 conditions puisse également se réaliser. En est-il de même pour une suite 

 de valeurs qui se succéderaient continûment, ou sans écart assignable, 

 dans toute l'étendue d'un intervalle quelconque déterminé? Tel est le point 

 principal que nous avons actuellement à résoudre; nous le traiterons en 

 nous plaçant d'abord et successivement dans chacune des trois premières 

 hypothèses. 11 suffira d'ailleurs que nous raisonnions sur des intervalles 

 où les valeurs de x à considérer se succèdent continûment; les résultats 

 obtenus dans ce cas s'étendent d'eux-mêmes à celui où l'on imagine que, 

 sans être continues, ces valeurs ne conservent, néanmoins, entre elles que 

 des écarts indéfiniment petits. 



