30 ÉTUDE APPROFONDIE 



Mullipliant la première des équations (5) par /», , la seconde par hj, et ainsi 

 de suite, puis ajoutant membre à membre, il vient, eu égard aux équa- 

 tions (1), 



(4) . . . f(.r„-n) — f{x,) = (h, + h, -^■ etc. -v- ft„) C -t- /i.ij, ■+- h,y,., -i elc. -t- h„^„. 

 On a, d'ailleurs, en vertu des mêmes équations, 



X, + h, -^ h, elc. -t- ft„ = ^,, + 1 



et il est visible que la valeur a;,,^, peut être supposée précisément égale 

 à x^. On peut donc écrire 



A, H- /), -4- etc. -(- h„ = Xf — a;, , 



et substituant dans l'équation (4) 



(5) . . . . f{^p) — f^.) ■= C(.r, -;r,) + /!..,, + /(,,.,, etc. + A„,„ 



Par hypothèse chacune des valeurs jj, , >)2, etc., est moindre qu'une 

 certaine quantité -^ dont on dispose et qu'on peut prendre aussi petite 

 qu'on veut. On a donc d'abord 



h.i, -t- h^tj^ -t- elc. -1 /i„if„ < (/(, + II, -t- elc. -t- A„))> < (j-^— i,)if. 



Il vient ensuite, eu égard à l'égalité (5) 



(o) , . = C -4- A"»- 



«V — ^, 



fi étant moindre que un. 



Cela posé, il est évident que si les quantités C et -^ — , toutes deux 



constantes, n'étaient point égales, l'équation (6) où n peut être supposé in- 

 définiment petit, serait impossible. On a donc nécessairement 



= t. , 



