32 ETUDE APPROFONDIE 



lions depuis longtemps connues. Dans ce qui suit, les questions à résou- 

 dre sont infiniment plus délicates; nous croyons d'ailleurs, qu'elles sont 

 tout à fait neuves et qu'un intérêt assez considérable s'attache à leur 

 solution. 



S"" QUESTION A RÉSODDRE. 



Est-il possible que, poîir toutes les valeurs de w eomprises dans un intervalle 

 quelconque déterminé, et tandis que h converge vers zéro, le rapport ^ oscille 

 constamment et sans fin entre plusieurs limites distinctes? 



17. Imaginons que, pour une valeur particulière attribuée à x, et tandis 



que h converge vers zéro, le rapport -^ = i — croisse et décroisse 



alternativement, de manière à osciller sans fin entre certaines limites. 



Deux cas répondent à cette hypothèse, selon que les limites dont il 

 s'agit se rapprochent indéfiniment l'une de l'autre, ou qu'au contraire elles 

 conservent entre elles un écart déterminé. 



Dans le premier cas , les choses se passent de la même façon que si le 

 rapport ^ convergeait vers la valeur finale, commune aux deux limites. 

 Les déductions précédentes s'appliquent d'elles-mêmes à ce cas et il n'y a 

 pas lieu de nous y arrêter. 



Dans le second cas, il semble que le rapport — cesse de pouvoir être 

 considéré comme convergeant vers une limite quelconque déterminée. 

 Examinons ce qui se passe alors. Par hypothèse, à mesure que /* converge 

 vers zéro, le rapport ^ subit une alternative non interrompue d'accrois- 

 sements et de décroissements successifs. Lorsque le rapport croît, l'ac- 

 croissement qu'il subit persiste jusqu'à une certaine valeur maxima, à 

 partir de laquelle le décroissement commence. De même, lorsque le rap- 

 port décroît, le décroissement qu'il subit persiste jusqu'à une certaine 

 valeur minima, à partir de laquelle l'accroissement recommence; et ainsi 

 de suite, sans que ces alternatives cessent de se reproduire en nombre 

 toujours inépuisable. Il suit de là que les valeurs maxima et minima, qui 

 se succèdent tour à tour, répondent à des valeurs de h qui deviennent de 



