34 ÉTUDE APPROFONDIE 



santés. Noiis supposerons que l'on prend à part et que l'on considère isolément ta 

 première série, c'esl-à-dire celle qui répond aux plus grandes valeurs maxima. 



D'après ce qui précède il est aisé de voir que, dans tous les cas possi- 

 bles, les plus grandes valeurs maxima unissent nécessairement par fornaer 

 une suite qui converge, en croissant ou en décroissant, vers une certaine 

 limite L. 



On démontrerait de même que, dans tous les cas possibles, les plus 

 petites valeurs minima finissent nécessairement par former une suite qui 

 converge, en croissant ou en décroissant, vers une certaine limite /. 



Par hypothèse, les limites L et l conservent entre elles un écart déter- 

 miné. Il est clair, d'ailleurs, qu'en prenant h suffisamment petit, l'on peut 

 toujours obtenir pour le i-apport ^ des valeurs aussi rapprochées qu'on 

 veut de l'une ou l'autre de ces deux limites. 



18. Cela posé , imaginons que ce ne soit plus seulement pour une valeur 

 particulière attribuée à x que le décroissement indéfini de h détermine, 

 dans les valeurs correspondantes du rapport ^,, une oscillation sans fin, 

 avec convergence alternative vers deux limites distinctes. Concevons que 

 cette même condition subsiste pour toute l'étendue d'un certain intervalle. 

 Dans cette nouvelle hypothèse, il importe avant tout de reconnaître si les 

 limites L et /, qui sont déterminées pour chaque valeur de x, subissent 

 ou non des changements brusques, lorsque la variable croît d'une manière 

 continue. 



Voyons d'abord ce qui se passe relativement à la limite supérieure L. 



Soit a;,, iT.^, aîj, etc., la suite des valeurs de a; à considérer, et L,, L^, 

 L3, etc., les valeurs correspondantes de la limite supérieure L. A chacune 

 des valeurs a;,, x^^ x,, etc., répond un accroissement /;,, /(,, h-^, etc., tel 

 que, pour cet accroissement et pour une infinité d'autres de plus en plus 

 petits, le rapport ^ comporte une suite de valeurs qui satisfont toutes 

 à la condition générale , 



(n /-(.r + h) - f{x) 



(1) ; = L -t- i(, 



