SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. 37 



même proposition ayant déjà été établie en ce qui concerne l'excès de 

 L„ sur L^, il est actuellement visible que les deux limites L„, L^ ne peu- 

 vent l'emporter l'une sur l'autre, et réciproquement, que d'une quantité 

 indéfiniment décroissante avec i. On ne peut donc point admettre que la limite 

 supérieure L subisse , en général , aucun cliangement brusque, lorsque la variable x 

 croît avec continuité. 



19. Le fait que nous venons de constater relativement à la limite 

 supérieure L subsiste également en ce qui concerne la limite inférieure /. 

 On le prouverait, au besoin, en suivant le même procédé de démonstra- 

 tion que nous venons de développer. Nous poursuivrons, sans nous arrêter 

 à ce détail qui n'offre aucune difficulté nouvelle. 



20. Après avoir reconnu que, dans l'hypothèse où nous raisonnons, les 

 limites L et / varient continûment avec x, nous allons examiner si cette 

 hypothèse elle-même est ou non compatible avec les conditions supposées 

 remplies par la fonction tj. 



Pour plus de clarté, nous résumerons en quelques mots l'état de la 

 question qu'il s'agit de résoudre. 



On suppose que, pour toute l'étendue d'un certain intervalle, le décrois- 

 sement indéfini de h détermine, dans les valeurs correspondantes du rap- 

 port — , une oscillation sans fin avec convergence alternative vers deux 

 limites Let /. Il est d'ailleurs prouvé que, si ces limites varient avec x, c'est 

 d'une manière continue, c'est-à-dire sans subir aucun changement brusque. 

 Cela posé, il s'agit de reconnaître si la supposition d'où l'on part est ou 

 non compatible avec la continuité de la fonction y. 



Soient a;, et Xj„ deux valeurs de x prises dans l'intervalle que l'on consi- 

 dère, et assez rapprochées l'une de l'autre pour que de Xy à x^ les change- 

 ments subis respectivement par chacune des limites L et / restent toujours 

 extrêmement petits. 



Si , pour une valeur quelconque intermédiaire a;,, l'on désigne par 

 Lj et /j les valeurs correspondantes des limites L et /, on aura générale- 

 ment 



(5) J U = L, - ^. 



