40 ETUDE APPROFONDIE 



I étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que i. II vifiit 

 donc enfin 



(13) = L, -4- ^>( -1- ;■. 



"■p — ^. 



Cela posé, il est clair qu'en opérant sur la limite inférieure /,, comme 

 nous venons de le faire sur la limite supérieure L,, l'on aurait de même 



(lu) = l^ -1- fi^ -4- i; • 



*V — ^i 



Des équations (15) et (16) l'on déduit immédiatement 



L, /, := |(iV M- Ç' — |U;) — Ç. 



Cette dernière relation est évidemment impossible, puisque, d'une part, 

 on suppose un écart déterminé entre les constantes L,, /,, tandis que, 

 d'autre part, il est prouvé que chacune des quantités |, |', fj.-^, n'n' peut être 

 rendue indéfiniment petite. Concluons en conséquence que, il n'est aucun 

 inlervalle dans toute l'étendue duquel le rapport -^ puisse osciller sans fin entre 

 deux limites distinctes, à mesure que h converge vers zéro. 



RÉSUMÉ. 



21. La fonction ij = f[x) étant supposée continûment croissante ou 

 continûment décroissante, dans un certain intervalle, et les valeurs 

 qu'elle y prend étant toutes effectives, nous avons établi , relativement au 

 rapport, 



1° qu'il ne peut être indépendant de l'une des quantités a; ou /i, sans 

 l'être en même temps de l'autre; 



