SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 41 



2° Que, lorsque cette indépendance existe, la fonction est linéaire, et 

 réciproquement; 



3° Qu'abstraction faite de ce cas exceptionnel, le rapport ^, dépen- 

 dant à la fois de x et de h, varie continûment avec chacune de ces deux 

 grandeurs, et affecte toujours, en même temps qu'elles, une valeur unique, 

 réelle et déterminée. 



Examinant, ensuite, ce qui arrive lorsque, pour une valeur quelconque 

 attribuée à la variable, l'on fait décroître indéfiniment la quantité h, nous 

 avons reconnu que si le rapport ~ peut accidentellement croître sans 

 limites, ou bien converger vers une même limite constante, ou bien 

 encore rester oscillant entre deux limites distinctes, il est néanmoins 

 impossible qu'aucune de ces trois conditions * subsiste d'une manière 

 permanente, dans toute l'étendue d'une partie quelconque de l'intervalle 

 considéré. 



Si l'on supposait que, pour une certaine étendue, il s'agît, non pas de 

 toutes les valeurs de x comprises dans cette étendue, mais néanmoins 

 d'une suite de valeurs qui se succéderaient sans conserver entre elles 

 aucune distance assignable, l'impossibilité que nous venons de rappeler 

 subsisterait également. Cette extension des résultats établis par les dé- 

 monstrations qui précèdent, se fait en quelque sorte d'elle-même, et sans 

 qu'il soit besoin d'insister pour en faire ressortir la complète évidence. 



Cela posé, observons qu'abstraction faite du cas exceptionnel présenté 

 par les fonctions linéaires, il faut nécessairement, tandis que h converge 

 vers zéro, que le rapport ~ remplisse l'une ou l'autre des quatre conditions 

 suivantes : 



1° Croître sans limites; 



2° Converger vers une limite constante; 



3° Osciller sans fin entre deux limites distinctes ; 



A" Converger vers une limite variable avec x. 



' Il est bien entendu qu'il ne s'agit point ici des fonctions linéaires. Pour ces fonctions, le 

 rapport — est constant, indépendamment de toute valeur attribuée à/i. Il n'y a donc point lieu 

 d'examiner ce qui se passe, lorsque h converge vers zéro. 



Tome XXIX. 6 



