42 ETUDE APPROFONDIE 



D'après ce qui précède, il n'est aucune étendue dans laquelle l'une 

 quelconque des trois premières conditions puisse subsister constamment, 

 pour des valeurs de x qui se succéderaient d'une manière continue, ou 

 avec des écarts indéfiniment petits. Il suit de là que le contraire doit avoir 

 lieu pour la quatrième. Supposons, en effet, que pour celle-ci, de même 

 que pour chacune des autres, il n'existe point d'intervalle où elle soit 

 continûment persistante; il est visible que, dans cette hypothèse, aucune 

 dislance assignable ne pourra jamais s'établir entre les valeurs de x qui 

 réalisent l'une quelconque des trois premières conditions. Il faudra donc 

 nécessairement que l'une ou plusieurs de celles-ci ne cessent point de 

 subsister, soit d'une manière continue, soit pour des valeurs de x qui se- 

 raient indéfiniment rapprochées les unes des autres. Or, c'est là prédsémeni 

 ce qui a été démontré impossible. 



Concluons : 



i" Que, si dans la variation que le rapport ^ subit à mesure que li converge 

 vers zéro, l'une ou l'autre des trois premières conditions peut se réaliser, ce n'est 

 jamais qu'accidentellement ou exceptionnellement, c'est-à-dire pour des valeurs 

 de X qui demeurent isolées les unes des autres, et qui conservent entre elles un 

 certain intervalle. 



2° Que, dans toute détendue comprise entre deux quelconques de ces valeurs 

 isolées et successives, le rapport ~ ne cesse point de converger constamment vers 

 une limite déterminée et variable avec x. 



22. Considérons l'un des intervalles compris entre deux de ces valeurs 

 isolées et successives, pour lesquelles le rapport ^ croît indéfiniment, 

 ou oscille sans fin entre deux limites distinctes. Si nous désignons par 

 f [x) la limite vers laquelle ce même rapport convei'ge dans toute l'étendue 

 de cet intervalle, à mesure que li décroît indéfiniment, nous aurons 



f (:i) = hm , 



et nous pourrons écrire en conséquence 



i^'l ; = / {i) -t- 1, 



