SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 43 



>j étant une quantité qui dépend de h et qui converge vers zéro en même 

 temps que cet accroissement. 



La limite/'' [x) prend, par rapporta la fonction donnée /'(jc), le nom de 

 fonction dérivée. L'indice, dont on affecte le signe représentatif de la 

 fonction pour désigner la fonction dérivée, sert en même temps à distin- 

 guer celle-ci et à rappeler son origine. 



23. Telle est la conclusion de la première partie de ce travail. Nous 

 la compléterons en démontrant que la fonction désignée par f'[x) est gé- 

 néralement continue. 



Reprenons l'équation (17) 



f(x + h) - f{x) 



J^ = f (-f) -+- 1- 



Applicable à toute valeur de x, comprise dans l'un quelconque des in- 

 tervalles définis ci-dessus, cette équation exprime que, pour chacune de 

 ces valeurs, l'accroissement li comporte une certaine limite h' , à partir 

 de laquelle la quantité >? devient aussi petite qu'on veut , et ne fait 

 d'ailleurs que décroître encore, à mesure que /t converge vers zéro. 



Considérons la suite des valeurs affectées par la limite /(', alors que la 

 variable croît continûment de x^ à Xj,. Par hypothèse les valeurs a;,, Xj,, 

 sont toutes deux comprises dans un seul et même intervalle répondant à 

 l'équation (17). La condition exprimée par cette équation subsiste en 

 conséquence pour toute l'étendue de la variation qui s'accomplit de x^ 

 à X , et il n'est aucune valeur inlermédiaire x^ pour laquelle la limite h' puisse 

 disparaître ou s'évanouir. Doit-on conclure de là que, parmi les valeurs 

 affectées par h', il n'en est aucune qui s'abaisse au-dessous d'un certain 

 degré de grandeur assignable d'avance et numériquement exprimable ; ou 

 bien, au contraire, faut-il admettre que la moindre de ces valeurs peut 

 devenir indéfiniment petite en même temps que la variable x converge vers 

 certaines valeurs déterminées? Cette question curieuse n'a pas besoin 

 d'être résolue pour l'objet que nous nous proposons. En effet, les deux 

 conditions que nous venons d'énoncer sont évidemment les seules qui 

 puissent se réaliser dans la variation subie par la limite h' ; il suffit 



