44 ETUDE APPROFONDIE 



(l'aillours de partager convenablement l'intervalle a?,, — ^r, , pour que la 

 première subsiste seule et exclusivement dans chacune des subdivisions 

 obtenues. Soit, par exemple, x^, x^, x,, etc., les valeurs successives et 

 nécessairement isolées pour lesquelles la limite h' converge vers zéro, en 

 même temps que la variable x, supposée continûment croissante, se 

 rapproche indéfiniment de l'une ou de l'autre de ces valeurs. Partant de 

 la valeur Xt, la limite h' a un certain degré de grandeur. Plus loin ce 

 degré s'abaisse indéfiniment, à mesure que a: converge vei-s a;„; néanmoins, 

 si près qu'on soit de la valeur *•„, il suffit de s'arrêter au point où l'on 

 est parvenu, pour que, dans l'intervalle franchi depuis la valeur a;,, la 

 limite/;' n'ait pas cessé d'être constamment supérieure à zéro d'une quantité 

 déterminée et numériquement assignable. On voit donc clairement que, 

 pour faire subsister cette même condition dans toute l'étendue de chacune 

 des subdivisions successives a;,, — x,, Xi, — x„, x, — x,,, etc., il suffit 

 d'en exclure respectivement les valeurs extrêmes x„, x,,, x,^ etc. 



Cela posé, soit x ±i une suite continue de valeurs s'écarlant aussi peu 

 qu'on voudra de x, et toutes comprises dans l'une quelconque des subdi- 

 visions x^ — Xf, Xi, — a?„ , etc. On a d'abord 



f,^^ f{x + h) - [(x) 



("' ^ = / (•'■) -*- ■»; 



puis remplaçant x par x àz i, et désignant par >j' la valeur que prend >;, 



(lo) r = f {x ± l) + ^' . 



a 



De là résulte, en désignant par | la différence des premiers membres 

 des équations (17) et (18), 



f'{X ± i) — f'(x) = Ç H- , — ,'. 



Or, en premier lieu, il suffit que la valeur attribuée à k ne dépasse 

 pas un certain degré de grandeur pour que, indépendamment de toute valeur 

 affectée par i dans la suite x ± i, les quantités r, , ri' restent aussi rapprochées 



