46 ÉTUDE APPROFONDIE 



accroissement de la variable, sont identiques avec ceux que subit la 

 seconde pour un décroissement de la variable égal en grandeur à ce 

 même accroissement. Or, il est démontré qu'on a, en général, 



f[{x, + x^) — { x" + h)] —f{x, + x, — x") 



ft = -^(■'^ > -^ ■*• 



^{x) étant une fonction continue, et >) une quantité qui converge vers 

 zéro en même temps que //. On a donc identiquement, par voie de simple 

 substitution 



f(x-h)-f(x') 



= y (X, -4- X,, X ) -i- y, 



k 



ou , ce qui revient au même , 



= F(x) + , 



la fonction F{x) étant généralement continue, et y, convergeant veis zéro 

 à mesure que h décroît indéfiniment. 



2S. Il est prouvé par ce qui précède que, si l'on fait converger vers 

 zéro la quantité h, chacun des deux rapports i~ ^^ AW— A-^- ') 



converge en général vers une certaine limite exprimée par une fonction 

 continue de la variable x. On a donc d'une part, 



,,„ f{s + h) - f[x) 



et d'autre part 



(2) f[x)-f(x-h) ^ p^^^ ^ ^ 



h 



les fonctions f'{x) et F (a;) étant toutes deux continues, et chacune des 

 quantités )j, ç, convergeant vers zéro en même temps que li. 



Cela posé, deux cas sont possibles, selon que les fonctions /'(j) et ï[x) 

 se confondent, ou qu'au contraire, elles diffèrent. 



I 



