SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 47 



Soient Xi et a?^ deux valeurs aussi voisines qu'on voudra, et ne compre- 

 nant entre elles aucune de ces valeurs intermédiaires x^, x^, etc., dont la 

 variable ne peut se rapprocher indéfiniment, sans qu'il y ait convergence 

 vers zéro de la limite désignée plus haut par k' . Posons h = x, — ;»,. 

 Si dans l'équation (1) l'on remplace x par a?,, il vient 



3 = / (•ï.) -t- '). 



ac, — !c, 



de même, si dans l'équation (2) l'on remplace x par a?., l'on a 



(4) ^Jf.Lzilfil==FK)-.ï: 



De là résulte immédiatement, 



F(x,) - /"(x.) = >, - t 



et puisque chacune des quantités ç, >;, devient indéflniment petite, à me- 

 sure que h converge vers zéro, il s'ensuit que F(^,) converge vers f'{x,), 

 en même temps que x^ vers a?,. Il y a donc identité entre les deux fonc- 

 tions f'{x) et ¥{x) pour toute l'étendue de chacune des subdivisions x„ — x^ , 

 Xo — a;„, etc., du n" 23. 



Ce premier point établi, il est aisé de voir que, réciproquement, toute 

 valeur Xo, pour laquelle on a ['{x^) = ^{x^), ne peut coïncider avec aucune 

 des valeurs x,„ x^, etc., rappelées ci-dessus. En effet, quel que soit le 

 sens suivant lequel la variable x s'écarte de la valeur x.^, la limite h' a, 

 pour le point de départ, un certain degré de grandeur déterminé, et cette 

 même condition subsiste pour une certaine étendue mesurée, soit en 

 avant, c'est-à-dire de x.2h x^, soit en arrière, c'est-à-dire de x., à x,. On 

 a donc, d'une part, en vertu de l'équation (1). 



(5) fJ^iï^Ii^ ^r^,^)^„ 



