SCR DEUX ÉQUATIO^'S FOiNDAMIuMALES. 49 



et qu'en même temps, aucune des valeurs pour lesquelles cette égalilé 

 subsiste ne peut coïncider avec l'une quelconque des valeurs extrêmes 

 a;„, ^4, «., etc. Il suit de là que, pour ces dernières valeurs, les deux limi- 

 tes f (a;) et F(x) diffèrent nécessairement, et que, par conséquent, de l'une 

 à l'autre, il y a changement brusque de grandeur. Réciproquement, 

 toutes les fois qu'un pareil changement se produit, pour une valeur dé- 

 terminée de la variable, l'on peut affirmer que cette valeur appartient à 

 la suite des valeurs isolées x„, x„ x,, etc., précédemment définies. 



Soit, eu effet, x^ une valeur de x pour laquelle il y ait inégalité entre 

 les deux quantités f'i^) et F(^), limites respectives des deux rapports 



h e' f -■ L équation (7) subsistant comme tout à 



l'heure, à cela près que les quantités f'{x^) et F(a;,) ont cessé d'être égales; 

 l'on a, en divisant les deux membres par le facteur x^ — x,. 





[f'{^\) + ■>] + ~ ^[F(.rJ + Ç]. 



Cela posé, si l'on imagine que la quantités-, se rapproche indéfini- 

 ment de la valeur x,, sans toutefois l'atteindre, il est visible que le second 

 membre de l'équation (10) converge vers la valeur f'{x,). Or, dans ces 

 mêmes^ circonstances, la limite du rapport ^'";^' ~ ^|"0 est F(x,). On voit donc 

 que si, dans ce cas, l'on se lient à ce pro''céde\ c'est-à-dire si l'on opère 

 en maintenant un certain écart entre les valeurs extrêmes x, et x^, il 

 devient absolument impossible d'obtenir la convergence voulue. Pour 

 remplir celte condition essentielle, il faut alors faire converger la valeur 

 x^ vers la valeur x^, de manière à rendre la différence x.—x^ indéfinimem 

 petite, par rapport à l'accroissement total x^~x,, ce qui exige que cet 

 accroissement converge lui-même vers zéro en même temps que x, se rap- 

 proche indéfiniment de la valeur x,. Il est ainsi démontré que 



nxJ-%-1)'"' "^^ *■' ''""'■ ''"?"^"*^ '^« ''""''fs f'e« rapports ^l^-^-'i^Lz^Zi^' et 

 h <^^«s««' ''''être égales, constitue une des valeurs isolées x„, xu, a;,, etc , 



dont la variable ne peut se rapprocher indéfiniment sans que la limite h! con- 

 verge vers zéro. 



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