SO ETUDE yVPPROFONDIE 



Oa voit aussi par là comment la limite h' , qui reste déterminée et nu- 

 mériquement assignable pour chacune des valeurs extrêmes x^, x,^, x^, etc., 

 peut néanmoins converger vers zéro, à mesure que la variable converge 

 veis l'une ou l'autre de ces valeurs, soit en croissant, soit en décroissant. 

 Si ces deux faits peuvent, au premier abord, paraître contradictoires, on 

 reconnaît bientôt que leur existence simultanée est non-seulement pos- 

 sible, mais qu'en outre elle dépend d'une condition particulière aussi 

 simple à concevoir que facile à réaliseï'. 



Ajoutons enfin que des équations (7), (8) et (9) du n° 23, résulte le 

 théorème suivant : 



En général, et pour toute valeur de x comprise dans l'une des subdivisions 

 a:,, — a;,, xi, — .?-•„, etc., il est indilJérent que l'accroissement Ajt soit porté tout entier 

 d'un même côté de celte valeur, ou qu'il se compose de deux parties quelconques 

 portées, l'une en deçà, l'autre au delà. Dam tous les cas, la limite du rapport 

 — reste identiquement la même. 



MX ^ 



Les détails dans lesquels nous venons d'entrer n'étaient pas absolu- 

 ment nécessaires au but que nous poursuivons. Néanmoins, nous avons cru 

 utile de ne point les omettre dans une étude approfondie, où leur place se 

 trouve marquée naturellement, et où le jour qu'ils jettent sur plusieurs 

 points délicats satisfait l'esprit, en lui permettant de concilier des faits 

 qui lui sont imposés d'abord, en dépit de leur apparence contradictoire. 



Résumé général du chapitre /"'. 



27. Soit !/ = f(.v) une fonction quelconque, supposée continue dans 

 l'intervalle x^, — a;„ où, pour chaque valeur attribuée à x, elle n'affecte 

 jamais qu'une valeur unique, toujours effective, réelle, et déterminée. 

 Soient en outre x et a; -f /' des valeurs choisies comme on voudra entre les 

 valeurs exti'êmes x^ et x^,. 



Le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la 

 variable ayant pour expression générale 



A!/ ^ [{x-^h) - f{x] 



