SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. M 



il résulte des démonstrations précédentes que nous pouvons considérer 

 comme étant rigoureusement établis les principes suivants : 



1° Le rapport ^ ne peut jamais être indépendant de l'une des deux 

 quantités x ou h, sans l'être en même temps de l'autre, et sans se réduire, 

 en conséquence, à une constante absolue. En ce cas, la fonction y est 

 linéaire, et réciproquement; 



2° Abstraction faite du cas particulier et unique présenté par la fonc- 

 tion linéaire, 



!/ = ax ■+- e, 



pour laquelle, indépendamment de toute valeur attribuée, soit à x, soit à 

 /(, l'on a constamment 



"y 



— = oj; = eonsl., 



&s 



le rapport ' '^ "^ ^ — '-^ est une fonction continue qui dépend, à la fois 

 et toujours, des deux quantités x et li; 



5° Lorsque la fonction y n'est point linéaire, et que, pour une valeur 

 particulière attribuée à x, l'on fait converger vers zéro l'accroissement h, 

 il peut arriver que le rapport /'(^ + ^) — A^) croisse sans limite, ou qu'il 

 converge vers une limite constante , ou qu'il oscille sans fin entre plusieurs 

 limites distinctes, ou bien encore qu'il converge vers une limite qui dé- 

 pend de la valeur attribuée à x, et change avec cette valeur. 



De ces quatre conditions, seules possibles dans la variation dont il 

 s'agit, les trois premières ne sont jamais réalisables que d'une manière 

 accidentelle, c'est-à-dire pour des valeurs de x qui demeurent isolées les 

 unes des autres, et qui conservent entre elles certains intervalles. Dans toute 

 l'étendue comprise entre deux quelconques de ces valeurs isolées et suc- 

 cessives, le rapport ^ ne cesse point de converger constamment vers 

 une limite déterminée et variable avec x. On a donc en général, 



f{^ -t- h) - gx] 



l.m -=f'(i]; 



