ETUDE APPROFONDIE 



ou, ce qui revient au même, 



f{.r-^h)-f(.v) 



= f'(x) + t, 



n étant une quantité qui déperfd de h et qui converge vers zéro en même 

 temps que cet accioissement; 



4° Pour chacun des intervalles, dont il vient d'être fait mention , Ion a 

 généralement : 



h h 



et la limite /"'(ir) est une fonction continue de la variable x. Néanmoins, il 

 est possible que, pour certaines valeurs particulières, a;„, a;^, x^, etc., com- 

 prises dans l'un quelconque de ces intervalles, les limites des deux rapports 

 /(J-*- ) — /(■') t\^) — l[^— ) cessent tout à coup d'être ésales. En ce cas, 

 il y a lieu d'observer, comme tout à l'heure, que les valeurs auxquelles ré- 

 pondent ces changements brusques, ne peuvent jamais se succéder qu'en 

 conservant entre elles certains écarts. 11 s'ensuit donc que la fonction déri- 



vee f [x], limite commune des deux rapports '— ^ — '-^ et '-^ — '-^ '- 



demeure essentiellement continue dans toute l'étendue de chacune des sub- 

 divisions successives x„ — a?,, x^ — x„, x^ — .Tj, etc.; 



5° La continuité de la function primilive f{x) implique celle de la fonction 

 dérivée f [x), pour une suite d'intervalles qui se succèdent sans interruption 

 et qui forment, par leur ensemble, l'étendue totale où s'accomplit la varia- 

 tion de X. 



A chaque limite commune à deux de ces intervalles immédiatement suc- 

 cessifs, la fonction dérivée peut subir un changement brusque, soit parce 

 que les deux rapports A^-^^) — A^) et /'W~/'(^'-"^> , considérés dans la 



h h 



variation qu'ils subissent pour des valeurs de h indéfiniment décroissantes, 

 cessent de converger vers une même limite, soit que l'un ou l'autre, pris 

 dans les mêmes circonstances, croisse d'une manière indéfinie ou oscille 

 sans fin entre plusieurs limites distinctes. On dit alors qu'il y a solution 

 de continuité. Dans tous les cas, et si rapprochées, si nombreuses qu'elles 



