SUR DEUX EQUATIONS FOiND AMENTALES. SS 



Cela posé, si> tenant compte des considérations qui précèdent, l'on 

 compare l'équation (5) à l'équation (6), l'on est conduit naturellement à 

 l'induction suivante : 



Dans totUe fonction continue et non linéaire 



y = f{^), 



la génération simultanée des accroissements Ax et Aij commence, en général, suivant 

 une certaine raison de proportionnalité. Constamment variable avecx, cette raison 

 est exprimée par la valeur parliculière que la fonction dérivée f'{x) affecte au point 

 pris pour origine des accroissements. 



Ce deuxième principe étant d'une importance tout à fait capitale, nous 

 croyons nécessaire de l'établir directement et avec une entière rigueur. 

 A cet effet, nous procéderons par la voie synthétique. 



29. Nous avons dit qu'à l'instant précis où elle commence et quelle qu'en 

 soit d'ailleurs l'origine, la génération simultanée des accroissements Aa, 

 Ai/, est nécessairement régie par une loi déterminée. Nous avons ensuite 

 considéré le mode le plus simple que cette loi puisse affecter, et, obser- 

 vant qu'il se résout en une raison de proportionnalité constante et uni- 

 forme, nous avons montré comment il se réalise effectivement dans la 

 fonction linéaire 



y = ax -t- b. 



Imaginons, maintenant, qu'au lieu de persister dans une seule déter- 

 mination, la raison dont il s'agit subisse au contraire une variation inces- 

 sante, et que, en conséquence, pour chaque valeur affectée par x à l'ori- 

 gine des accroissements , elle soit exprimée par la valeur correspondante 

 d'une certaine fonction continue <i>{x) , choisie comme on voudra. 



11 est visible que, dans cette hypothèse, les accroissements Aj/ et Ax ne 

 peuvent plus, comme tout à l'heure, conserver entre eux le rapport qui 

 régit transitoirement leur génération simultanée prise à son origine. I^a 

 relation qui les fait dépendre l'un de l'autre est nécessairement plus com- 

 plexe. Cherchons à la déterminer, car telle est la question que nous 

 avons actuellement à résoudre. 



Quelle que soit la valeur attribuée à x, il existe à partir de cette valeur 



