sis ÉTUDE APPROFONDIE 



un certain intervalle Ax, où la l'onction rj>(.x) ne cesse pas de croître tou- 

 jours ou de toujours décroître. Nous admettrons, pour plus de simplicité, 

 que l'intervalle Ar se trouve limité de manière à remplir la première de 

 ces deux conditions. Cette restriction, purement apparente, n'ôte rien à 

 la généralité des démonstrations. On verra aisément qu'elles s'étendent, 

 d'elles-mêmes, à tous les cas possibles. 



Divisons l'intervalle considéré ^x en n parties, toutes égales à //, nous 

 aurons 



nh = â,r ; 



et, si nous désignons par Ai/,, ^IJ„, etc., Aj/,,, , etc., Aî/„, les accroissements 

 partiels qui répondent successivement à chacune des subdivisions effec- 

 tuées, il viendra pour l'accroissement total Ai/, 



Ay = Ai/, + Mj^ ■+■ elc. -1- -\y„, -♦- etc. -f- ij/„. 



fj'intervalle /(, auquel répond l'accroissement partiel Ai/,„, est limité par 

 les valeurs extrêmes x -\- (m — l) h, w -{- nili. Les valeurs correspondantes 

 de la fonction f{jv) sont respectivement <j){ic + (m — 1) h), y(a; + mli). Ce 

 sont donc aussi ces dernières valeurs qui déterminent, pour l'intervalle 

 dont il s'agit, les limites entre lesquelles la raison de proportionnalité 

 qui subsiste à l'origine des accroissements, doit être supposée continû- 

 ment variable et constamment croissante. Or, puisque, dans le cas d'une 

 raison de proportionnalité constante et représentée par a, l'on aurait, 



il/,,, ^ ail , 



il s'ensuit que l'hypothèse, où nous raisonnons, implique, comme -con- 

 séquence immédiate, nécessaire et évidente, les deux inégalités générales 



^y,. > ''■ ■;■ (■'• + (m— 1)/') 

 Aij„ < h f (x -i~ mil ). 



De là résulte à fortiori 



^y < A [ y (^ + '') -t- y (^ + 2'' ) -»- etc. + y (:r + «A ) ] , 



