SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. S7 



et, par suite, 



(7) . . iy = h[!f(x) -^- f(.r-t-h) -^ etc. -h (f{x -t-(n — i)h)] + f^h[-,(.v -t- nh) — ?(■»')], 



jj. étant une quantité comprise entre zéro et 1. 



En remplaçant h par sa valeur ~ , l'équation (7) devient 



,„, ro(a:) -t- y(a;-»- A) -4- etc. -4- f(x-(- ()i — i)h) o(»-+-ia;) — flx]! 



(8). . . Mj = Ax\ ■ -4- fi. I , 



L " )i J 



OU bien encore 



,„. <f{x)-^f{x-t-h)-^ete.-i-<({x-t-{n — i)h) f{x-\-Ax) — f{x) a« 



(»)... . -f- fC. = — . 



n n àx 



Cela posé, imaginons que, sans rien changera l'intervalle Ax, l'on 

 augmente indéfiniment le nombre n, qui marque en combien de par- 

 ties égales cet intervalle est subdivisé. L'équation (9) subsistera toujours, 

 et puisque le second membre de cette équation demeure invariable, les 

 deux termes , qui figurent dans le premier, devront former ensemble une 

 somme constante. Or, à mesure que n est pris de plus en plus grand, 

 l'un de ces termes décroît sans fin et approche autant qu'on le veut de 

 zéro ; il faut donc que, dans les mêmes circonstances, l'autre converge à lui 

 seul, vers la limite fixe exprimée numériquement par leur somme. Mais, 

 d'un autre côté, ce terme est la moyenne arithmétique des valeurs que la 

 fonction (ji{iv) affecte à l'origine de chacune des subdivisions introduites 

 dans l'intervalle Ax. Il est, d'ailleurs, évident que cette moyenne arithmé- 

 tique, considérée directement et en elle-même, converge vers une limite 

 déterminée , à mesure que le nombre n croît indéfiniment. Si donc on 

 désigne cette dernière limite par le symbole j^J -fix) , on aura d'abord 

 pour la déterminer rigoureusement 



,.„, x+Ax flx)+f\x-\ î| -H etc. 



(10) .... |^^,(^) = i™!!^_:i — d__- 



Tome XXIX. 



.(n- 



