S8 ÉTUDE APPROFONDIE 



et si l'on veut simplement la calculer par approximation, 



l'erreur commise diminuant à mesure que n augmente, et restant toujours 

 moindre que la quantité 



f{X-i- âx) — f{x) 



n 

 Il viendra ensuite, et telle est précisément la relation qu'il s'agissait d'obtenir, 



(12) Ay = ^x. MTi^")- 



X 



Cette relation, établie entre les accroissements A?/ et A^, les détermine 

 l'un par l'autre, de manière à réaliser l'hypothèse dans laquelle nous 

 avons raisonné. Us sont donc tels que leur génération simultanée commence 

 suivant une raison de proportionnalité incessamment variable, et exprimée 

 pour chaque origine par la valeur correspondante de la fonction y (a;). 



Ainsi que nous l'avons fait voir dans notre Essai sur les prineipes fonda- 

 mentaux de l'analyse transcendante , et qu'on peut d'ailleurs y parvenir par 

 le procédé suivi tout à l'heure, on démontre aisément qu'en désignant 

 par f{x) une fonction quelconque continue, et par f {x) la dérivée de 

 cette fonction, l'on a en général * 



(•3) A /•(.,:) = ^S. ^yth- 



11 suit de là que, pouvant choisir comme on veut la fonction f{x), il 

 suffit de l'identifier avec la dérivée f'{.v) pour que, en vertu des équations 

 (12) et (13), les accroissements Af(x) et Aj/ qui répondent à un même inter- 

 valle quelconque Ax, deviennent eux-mêmes identiques. Cette double 

 identité permet d'appliquer littéralement h l'équation (13) ce que nous 

 avons dit de la relation (12). On voit ainsi que, bien loin d'être gratuite, 



' Voir, pour ki di^monslralion, le n° 43 ci-après. 



