SUR DEUX EQUATIONS FONDAMEISTALES. 59 



l'hypothèse, dansiaquelle nous avons raisonné, se réalise au contraire pour 

 toute fonction continue ij = f{x), et qu'en conséquence, il est une loi géné- 

 rale de proportionnalité subsistant à l'origine des accroissements Ay, Ax. 

 et régissant leur génération simultanée à l'instant précis où elle commence. 

 Le mode affecté par cette loi est uniforme ou varié, suivant que la fonction 

 y est ou n'est pas linéaire. Dans le premier cas, la raison de proportionna- 

 lité, dont la valeur particulière complète la détermination de ce mode, 

 demeure invariable : dans le second, elle change incessamment; dans l'un 

 comme dans l'autre, elle est exprimée, pour chaque origine, parla valeur 

 correspondante de la dérivée 



f {x) = hm -j^ 



30. Le principe que nous venons d'établir peut se démontrer de bien 

 des manières différentes. En voici une, très-prompte et très-directe, qu'il 

 nous suffira d'indiquer. 



rj'intervalle Ad restant assez petit pour que la fonction cf[x) y soit tou- 

 jours croissante, ou toujours décroissante, il est visible que l'on a, en 

 même temps, 



AI/ > y(3r). M 



et 



ou bien, au contraire, 



et 



AJ/ <^ o{^' -f- A:l'). A:r ; 



Ay > (f(x-\- A»-). SX. 



De là résulte, dans tous les cas, 



(j. étant une quantité comprise entre et 1. 



Soit maintenant f{x) une fonction quelconque continue, et f'{x) la déri- 

 vée de cette fonction. On a, conformément à l'équation (17) du n° 25, 



(IS) Af(x] = ^x. [f'(x) + .,], 



■fi étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que Ax. 



