60 ÉTUDE APPROFONDIE 



Posons, comme tout à l'heure, 



f{x) ^ f'[x)- 



la combinaison des équations (14) et (15) donne : 



Af(x) — Ay 



et, en vertu du théorème établi n° 16, 



A f{x) = Ay. C. Q. F. D. 



31. Nous avons vu comment, pour toute fonction continue «/^/"(a;), le 

 lien de dépendance, qui s'étend jusqu'à l'origine des accroissements Ay et 

 Aa?, se résout, à cette origine, en une loi générale de proportionnalité. 

 Nous avons vu, en outre, que la seule distinction établie entre les fonc- 

 tions linéaires et les fonctions non linéaires, consiste en ce que, pour les 

 unes , il y a invariabilité absolue de la raison suivant laquelle commence 

 la génération simultanée des accroissements, tandis que, pour les autres, 

 cette même raison est incessamment variable. De là résulte la déduction 

 suivante : 



Les accroissements A(ax + fc) = a^x, cl ^f{x) = Ax. '^f'{x), étant rappor- 

 tés tous deux à une même origine, et tous deux répondant ensemble à une même 

 variation continue de la quantité Ax, c'est suivant un même mode de composition 

 successive que s'accomplit leur génération simultanée. La seule distinction consiste 

 en ce que, pour l'un, l'élément représenté numériquement par a intervient con- 

 stamment sans changer de grandeur, tandis que, pour l'autre, ce même élément 

 passe par une suite non interrompue de déterminations transitoires, toutes variables 

 avec X dans l'intei'valle Ax, et exprimées par la valeur correspondante de la dé- 

 rivée i"{x), c'est-à-dire par le nombre f'{x-{-Ax). 



Le mode suivant lequel l'accroissement A{ax-\-b) = aAx, se compose 

 avec les deux grandeurs a et Ax, est assez simple pour qu'on puisse aisé- 

 ment s'en former une image précise. Ce mode, appliqué à la génération 

 continue de l'accroissement Af[x), reste identiquement le même, sauf 

 substitution de la grandeur variable f'{x + A.r) à la grandeur constante a. 



