62 ÉTUDE APPROFONDIE 



suffisent pour l'ôtablir), que l'aire engendrée par la portion z dans l'in- 

 tervallo quelconque A*, et représentée graphiquement par le quadrilatère 

 mixtiligne MM'N'N, a pour mesure le produit a.^x. Il suit de là que, pour 

 un même intervalle quelconque Ax, il y a identité entre la génération con- 

 tinue de raccroissement A(«x + /*) = a. Ax' et celle de l'aire engendrée par 

 une droite mobile, dont la longueur et la direction demeurent invariables. 

 On peut aussi en inférer que la génération continue de l'accroissement 

 A/'(a;) ne diffère de la précédente, qu'en ce que la droite mobile change 

 incessamment de grandeur, au lieu de persister dans une seule et même 

 détermination. C'est, au reste, ce que nous allons établir rigoureusement, 

 en examinant le cas où la longueur z est supposée continûment variable. 

 On a , alors , 



et l'on peut prendre l'intervalle Ax assez petit pour que la fonction (jj{x) y 

 demeure toujours croissante, ou toujours décroissante. Admettons que 

 cette condition soit remplie, et que l'on ait, d'ailleurs, 



MM' = y (a;,). 



11 est visible que, dans le déplacement de la droite BL, l'extrémité 

 supérieure de la portion z décrit une ligne M'N", située tout entière 

 au-dessus, ou tout entière au-dessous de la courbe M'N'. Quant à l'aire 

 engendrée par cette même portion z de la droite BL, et représentée par le 

 quadrilatère mixtiligne MM'N"N, on voit clairement qu'elle est nécessaire- 

 ment comprise entre celles qui, pour le même intervalle Ax, répondent 

 aux deux hypothèses 



z = const = yC^,) 



z = const = t,{x, -i- m). 



Or, ainsi qu'on l'a vu tout à l'heure, dans la première de ces deux 

 hypothèses , l'aire engendrée aurait pour mesure 



et dans la seconde 



