SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. 63 



Il est donc clair que, dans le cas où nous raisonnons, elle a pour expres- 

 sion numérique (^ étant une quantité comprise entre et 1), 



^X [y(x,) H- f^ifix, + SX) — f{x.)], 



ou plus généralement, l'origine .r, pouvant être changée sans qu'aucune 

 des déductions précédentes cesse d'être applicable, 



AX [f (j) -1- (Ci (y(j; -t- ix) — 'f[x))] = SX [f{x) + jKi f{x)]. 



Cela posé, si nous désignons par ;/ la fonction inconnue dont l'accroisse- 

 ment Aj/, considéré dans sa génération continue, résulte du déplacement 

 de la droite z, constante en direction et variable en grandeur, nous aurons 



(16) A1J = SX.[;{X) -^ f^.A'fi^v)]. 



Imaginons d'un autre côté que, disposant de la fonction arbitaire f(x), 

 nous la prenions égale à la dérivée f'{x), déflnie n" 22, et satisfaisant à la 

 condition 



(17) àf(x) = sx[r(x) + ,]; 



soustrayant, membre à membre, les équations (16) et (17) il vient 



àf(x)--sy 



= 1, — ^A. -f [X). 



àX 



Or, chacune des quantités ■/} et iJ.^f{x) décroît indéfiniment à mesure que 

 Ax converge vers zéro. Donc, en vertu du théorème exposé n° 16, l'on a 

 nécessairement , 



A /•(*■) = AI/. 



Il est ainsi démontré que, pour tout intervalle A.t oîi la fonction quel- 

 conque y = /■(«) demeure continue, la génération successive de l'accroisse- 

 ment A.f(.x) peut être considérée comme s'identifîant avec celle de l'aire 

 engendrée par une droite mobile, dont la direction demeure constante, et 

 dont la grandeur, incessamment variable, est exprimée, pour chaque point 

 de l'intervalle Ax, par la valeur correspondante de la dérivée f'{x). 



