64 ÉTUDE APPROFONDIE 



Cette représentation sensible du mode suivant lequel commence et s'ac- 

 complit la génération simultanée des accroissements Ai/ et hx, n'est qu'une 

 expression particulière et restreinte de la loi générale de proportionnalité 

 établie ci-dessus. Toutefois elle peut être utile par le jour qu'elle jette sur 

 quelques-unes des déductions qui précèdent et sur celles qui vont suivre. 



35. Étant donné une fonction quelconque continue j/ = ([x), désignons 

 par la valeur particulière que la dérivée f'{x) affecte à l'origine des 

 accroissements ^y, A^, et considérons, en même temps, les deux généra- 

 tions simultanées qui répondent, la première, à l'hypothèse dans laquelle, 

 pour toute l'étendue de l'intervalle hx, la dérivée f [x) conserverait la 

 valeur initiale a, la seconde, à la variation continue que celle même dérivée 

 subit en réalité dans l'intervalle dont il s'agit. 



Dans ces deux générations simultanées, tout est transUoirement iden- 

 tique, à l'instant précis où elles commencent, la génératrice BL affectant 

 alors une position pour laquelle on a, par hypothèse, 2 = /^'(a;,) = «. En effet, 

 puisque, en général, ces deux générations ne se distinguent l'une de l'autre 

 que par la substitution de la longueur variable z = f'{x) à la longueur 

 constante z = a, il est évident que toute différence s'efface et disparaît, là 

 où ces deux grandeurs sont égales. On voit donc clairement que c'est dans 

 des conditions absolument identiques que commence de part et d'autre la 

 double génération simultanée que nous considérons. On voit aussi, relati- 

 vement à la seconde génération , prise à son origine , et suivie dans son 

 développement continu : 



1° que le seul obstacle apporté à ce qu'elle reste toujours et partout 

 identique à elle-même, réside dans la variation incessante de la grandeur 

 f'ix). 



2° Que, si cette génération s'effectuait en subissant, non plus transitoire- 

 ment et seulement à l'origine Xt, la condition particulière qui détermine en ce 

 point la grandeur variable 2 = f'{x), mais bien en persistant dans cette 

 même condition devenue permanente , elle se confondrait entièrement avec la 

 première, au lieu de se borner à commencer comme elle. 



54. D'après ce qui précède nous sommes naturellement conduit à con- 

 sidérer d'une manière exclusive la seconde génération , et à distinguer en 



