66 ETUDE APPROFONDIE 



liubilucUcineiU, que raccroissemcnt dy est la dilférenlicUc de celte jnèiue 

 fonction, dont la quantité ^lJ est l'accroissement effectif ou la différence 

 ordinaire. 



En résumé, toute fonction continue, non linéaire, y^=f{x), fournit 

 comme objets distincts de spéculation deux accroissements nettement dé- 

 finis, en général différents l'un de l'autre, et répondant tous deux à un 

 même accroissement quelconque de la variable. L'un constitue l'accroisse- 

 ment effectif de la fonction : l'autre est la différentielle proprement dite. 

 Au premier, l'on affecte la caractéristique A; au second, la caractéristi- 

 que d. On a, d'ailleurs, et simultanément, les deux équations suivantes : 



^,J = f(.i- H- A^) - f(.v) = IX. M'rtO- 



et 



dy = /' [x). Ù.X. 



Dans la première de ces équations , on a égard aux valeurs successives 

 que la dérivée f'{x) affecte, en chacun des points de l'intervalle Aa;, et 

 l'on voit comment toutes ces valeurs concourent ensemble à la composi- 

 tion de l'accroissement effectif Ay. Dans la seconde, on suppose au contraire 

 que, pour toute l'étendue de l'intervalle Aa;, la dérivée f'[x) conserve une seule 

 et même valeur, celle qu'elle affecte à l'origine de cet intervalle. La diffé- 

 rentielle dtj se résout ainsi en une simple différence, déterminée par cette 

 hypothèse, et répondant à la fonction linéaire. 



.ï. /'(j,) H- b = au -4- b. 



35. Les démonstrations développées ci-dessus nous permettent de poser, 

 dès à présent, les conclusions suivantes : 



1° Dans tout intervalle où la fonction non linéaire y^f{x) demeure continue, 

 et quel que soit le point pris pour origine commune des accroissements Ay, Ax, 

 c'est, en général, suivant une certaine raison de proportionnalité, que commence 

 la génération sinmitunée de ces accroissements. 



2° Celte raison de proportionnalité varie continûment avec x, et elle est ex- 

 primée, en chaque point, par la valeur correspondante de la dérivée f [x). 



