SUR DEUX ÉQUATIONS FO^JDAMElNTALES. 67 



3° Lorsque l'on considère la raison de proporlionnaiité, exprimée par f [x) , 

 comme affectant dans l'intervalle ù,x toutes les déterminations successives qu'elle 

 comporte, on a la loi variée qui régit le développement continu de la différence 

 ordinaire Aij. 



On peut se placer à un point de vue différent et supposer qu'au lieu de varier 

 dans l'intervalle Ax, la raison dont il s'agit conserve, pour toute l'étendue de cet 

 intervalle, une seule et même détermination , celle qu'elle y affecte à l'origine. En 

 ce cas, on a la loi uniforme qui régit le développement de la différentielle dy. 



4° A partir de toute origine commime , il y a identité absolue entre le mode 

 transitoire suivant lequel commence la génération de l'accroissement effectif Ay 

 et le mode permanent suivant lequel s'accomplit la génération de l'accroissement 

 différentiel dy. 



36. Les principes que nous venons de formuler ont pour conséquences 

 immédiates deux théorèmes fondamentaux, d'une grande importance, et 

 SI smiples, d'ailleurs, qu'ils n'exigent aucune démonstration nouvelle. 



On conçoit que le mode uniforme affecté par la différentielle, dans son 

 développement continu, admette, suivant les cas, des énoncés divers. Cela 

 posé, l'on a évidemment ce 1" théorème: 



Quel que soit l'énoncé fourni comme traduction équivalente de l'équation 



dy = f'(x). AX. 



par cela seul que la condition exprimée a lieu d'une manière permanente et 

 invariable dans la génération de la différentielle, on peut affirmer, sans autre 

 intermédiaire, qu'elle subsiste transitoirement à l'origine de l'accroissement 

 effectif Ay. 



Vient ensuite cet autre théorème, qui n'est, au fond, que la réciproque 



du premier: 



Soit y une fonction inconnue de a; à déterminer d'après les données suivantes : 

 « On sait qu'une grandeur z incessamment variable et exprimée numé- 



" riquement par ^ [w], intervient dans la génération continue de l'accrois- 



» sèment Ay. 



» Si, au lieu de varier avec x dans l'inlervalle Ax, la grandeur 2 coit- 

 » servait la valeur quelconque a qu'elle affecte à lorigine de cet intervalle. 



