74 ÉTUDE APPROFONDIE 



et subsliluanl a y' sa valeur tirée de l'équation (5) 



(6) tt' = — - . a; ■' • 



Les égalités (5) et (6) prouvent que, quel que soit l'exposant m, entier 

 ou fractionnaire, positif ou négatif, l'on a constamment 



/-v 1- [x-hhy — x'" 



(/) lim = mx"' . 



H 



Si, d'ailleurs, on observe que le rapport -. varie continûment 



avec m, l'on peut en conclure que l'équation (7) ne cesse pas de sub- 

 sister pour le cas où m est irrationnel. De là résulte, eu égard à la 

 règle (1), la règle (5) énoncée ci-dessus. 



Emploi des dérivées dans l'analyse algébrique. 



42. A l'aide des règles que nous venons d'établir, l'on peut démon- 

 trer en quelques lignes et avec une extrême simplicité : 



1" Le binôme de Newton, pour le cas de l'exposant entier et positif; 



2° La formule de Taylor et celle de Maclaurin , présentées toutes deux 

 comme des conséquences immédiates du binôme de Newton. 



Nous renvoyons pour ces détails à une note insérée dans le tome XIII 

 des Bulletins de l'Académie royale de Belgique. Toutefois, nous montrerons 

 ici comment on peut parvenir d'un seul coup, d'une manière complète 

 et avec une entière rigueur, à l'établissement d'une formule générale qui 

 comprend, comme cas particuliers, toutes celles que nous rappelions tout 

 à l'heure. 



Commençons par établir un théorème dont nous avons déjà signalé 

 l'importance et qui nous paraît susceptible d'applications nombreuses. 

 L'usage restreint que nous ferons de ce théorème suffira, pensons-nous, 

 pour montrer qu'il peut servir de fondement à une théorie générale des 

 moyennes arithmétiques transcendantes, théorie purement rationnelle, entiè- 

 rement dégagée de toute obscurité métaphysique, et féconde en ressources 

 nouvelles. 



